Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

\(\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MB}.\vec{MC}+\vec{MC}.\vec{MA}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\right)^2-\dfrac{1}{2}\left(MA^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(\ge-\dfrac{1}{2}\left(MA^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left[\left(\vec{MG}+\vec{GA}\right)^2+\left(\vec{MG}+\vec{GB}\right)^2+\left(\vec{MG}+\vec{GC}\right)^2\right]\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left[3MG^2+2\vec{MG}\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right)+GA^2+GB^2+GC^2\right]\)

\(\ge-\dfrac{1}{2}\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\)

\(min=-\dfrac{1}{2}\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\Leftrightarrow M\equiv G\)

Qua A dựng đường thẳng d song song BC, trên d lấy điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{BC}\Rightarrow3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right)\right|=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)

\(\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{3}BC\)

Tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính \(\dfrac{BC}{3}\)

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Do I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\)

\(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=3.\left|2\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow2.\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow6\left|\overrightarrow{MG}\right|=6\left|\overrightarrow{MI}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=MI\)

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng IG

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\\\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện đề bài, ta có \(MG=MI\). Do đó M nằm trên đường trung trực của GI (cố định).

Vậy tập hợp điểm M thoả điều kiện đề bài là trung trực của đoạn GI.